Квадрат теңдеулерді шешу әдістері

Квадраттық теңдеулерді шешу әдістері;  

«Квадрат теңдеулер» мектептегі  алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің  шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему  аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі  туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік  теңдеулерді, физикада және техникада,  геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі. КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады. Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор. Бұл мақала алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр. «Квадрат теңдеулер» мектептегі алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі. Зерттеу барысында мектеп оқушыларына «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік бар екендігін анықтадық. Атап айтқанда, олар төмендегідей болып табылады: 1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу Мысал: х2+4х+3 =0 теңдеуін шешейік. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз: х2+х+3х+3 =х(х+1)+3 (х+1) =(х+1)(х+3) Демек, теңдеуді былай жазуға болады: (х+1)(х+3) =0 Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х =-1 және сандары х2+4х+3=0 теңдеуінің түбірлері болып табылады. 2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі Мысал: х2+8х-9=0 теңдеуін шешейік. Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х2+8х өрнегін төмендегідей жазып аламыз: х2 + 8х=х2+2х4 Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х пен 4-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін 42-ын қосу керек. Сонда х2+2х4+42=(х+4)2 Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 42-ын қосып, алып тастаймыз. Сонда шығатыны: х2+8х-9=х2+2х4+42-9-4 =(х+4)2-25 Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады: (х+4)2-25=0 , яғни (х+4)2=25. Бұдан х+4=5, х =1 немесе х+4=-5, х = -9. Жауабы: 1;-9 3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу ах2+вх+с=0, а≠0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз: 4а2х2+4ахв+4ас=0 ((2ах)2+4ахв+в2)-в2+4ас=0 , (2ах+в)2=в2-4ас 2ах+в= , 2ах = -в х = (1) Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады: 1)3х2-7х+4=0 теңдеуін шешейік. а=3, в=-7, с=4. Д=в2-4ас=(-7)2-4•4•3=49-48=1. Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады: х1=1, х2= Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2-4ас>0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады. 2)9х2+6х+1=0 теңдеуін шешейік. а=9, в=6, с=1. Д=в2-4ас=62-4•9•1=0. Д=0 болғандықтан, бір ғана түбір бар болады: х= , х= Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни в2-4ас=0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің жалғыз түбірі бар болады: х= 3)х2+2х+3=0 теңдеуін шешейік. а=1, в=2, с=3. Д=в2-4ас=4-4•3•1= -8. Д0. б) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі теріс болса (q <0), онда теңдеудің екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер р 0. Мысал, 1) х2+3х-4 =0; х1 =-4, х2 =1 мұнда q =-4 0 2) х2-7х-8 =0; х1 =8, х2 =-1 мұнда q =-8 <0, р =-7 SК, немесе, шеңбер Ох осін екі нүктеде (2а-сурет) В (х ; 0) және Д (х2;0) нүктелерде қияды. Мұндағы х1 және х2-ах2+вх+с =0 квадрат теңдеуінің түбірлері). 2-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінде (АS= SК; немесе тең, шеңбер Ох осін В (х1; 0) нүктесінде (2б)-сурет) жанап өтеді, мұндағы х1 – квадрат теңдеудің түбірі). 3-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінен кіші (А S SВ, екі шешімі бар: х1 және х2 б) АS=SВ, бір шешімі бар: х1 в) АS<SВ, шешім жоқ. 8-әдіс. Квадрат теңдеуді номограмма көмегімен шешу O B E y 3 F D y y 3y H A C 3 3y 9 p q 3-сурет 4- сурет Бұл квадрат теңдеуді шешудің бұрынғы және жөнсіз ұмыт болған әдісі [2,83бет]. Брадис таблицасында z2+pz+q=0 теңдеуін шешуге арналған номограмманы қарастырайық. Бұл номограмма квадрат теңдеудідің түбірлерін анықтауға мүмкіндік береді. Номограмманың қисық сызықты шкаласы төменгі формулалар бойынша тұрғызылған (жоғарыдағы 3-суретте бейнеленген). ОВ= ОС=р, ЕД=q, ОЕ=а десек, мұндағы САН және СДF үшбұрыштарының ұқсастығына мынадай пропорция аламыз: Мұнда z2+pz+q=0 теңдеуді ауыстыру жасағаннан және жеңілдеткеннен шығады, бұл жердегі z әрпі қисық сызықты шкала нүктесінің кез-келген белгісін білдіреді. 9-әдіс. Квадрат теңдеулерді геометриялық әдіспен шешу Көне заманда алгебраға қарағанда геометрия көбірек жетілген кезде, квадрат теңдеулерді алгебралық жолмен емес геометриялық жолмен шеше білген. Ежелгі гректер мына у2 + 6у-16=0 теңдеуін қалай шешкендігіне тоқталып өтейік. Шешуі: жоғарыдағы 4-суретте көрсетілген, мұндағы у2+6у=16 немесе у2+6у+9=16+9 у2+6у+9 және 16+9 өрнекті геометриялық тұрғыда сол квадраттың өзін береді, ал у2+6у-16+9-9=0 бастапқы теңдеу де сол теңдеу. Бұдан алатынымыз у+3= 5 немесе у1=2, у2=-8. Мақалада қарастырылған 9 әдіс те оқушылардың «Квадрат теңдеулер» тақырыбын терең меңгеруіне жол ашады. Сонымен қоса, квадрат теңдеулерді шешудің барлық тоғыз әдісі де қолданыс тапқанда оқушылардың пәнге деген қызығушылығы мен логикалық ойлау қабілеті артады. Қолданылған әдебиеттер: 1. Математика, информатика, физика журналы . №5, 2003ж. 2. Брадис В.М. Төрт таңбалы математикалық таблицалар – М.: Просвещение, 1990