Кездейсоқ оқиға және ықтималдық

Күнделікті өмірде орындалатын да, орындалмайтын да оқиғалар жиі кездеседі. Таңертең тұрып терезеден далаға қарасақ, далада күн ашық болуы да, бұлтты болуы да, жаңбыр жаууы да, қар жаууы да мүмкін. Бұлардың бәрінің орындалу мүмкіндіктері тең. Мұнда бірі орындалса, басқалары орындалмайтын жағдай бар. Және олар кездейсоқ оқиға болып табылады. Асықты лақтырғанда оның бүк, шік, тәйкі немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі де – кездейсоқ оқиға. Сонымен, кездейсоқ оқиға деп белгілі бір тұрақты жағдайда орындалуы мүмкін немесе орындалмауы мүмкін оқиғаны айтады.
Мысал 1: Асықты лақтырып ойнағанда, ол асықтың бүк жағы жоғары қарап немесе шік жағы жоғары қарап, әлде болмаса, тәйкі жағы немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі мүмкін. Мұнда бірі орындалса, басқалары орындалмайтын жағдай бар. Асықты лақтырғанда оның бүк, шік, тәйкі немесе алшы жағы жоғары қарап түсуі кездейсоқ оқиға болып табылады.

Біз қадағалап отырған нәтиже қанша рет шығатындығын анықтау үшін бірнеше рет бір-біріне тәуелсіз тәжірибелер жүргізіледі. Тәжірибе деп нәтижесін байқауға болатын объектіні түсінеміз. Мысалы: емтихан тапсыру, мылтықтан оқ ату, ойын тасын лақтыру, т.б.

Негізі тәжірибеге дейін бізге қолайлы оқиғаның орындалатынын, не болмаса орындалмайтынын анықтау мүмкін емес, оны тек тәжірибе соңында ғана көреміз. Біз ықтималдықтар теориясында кездейсоқ тәжірибеге қатысты барлық оқиғаларды кездейсоқ оқиғалар дейміз және кездейсоқ оқиға болып мына оқиғалар саналады:

1. жалған — ешқашан орындалуы мүмкін емес оқиға,

2. айқын — әрбір тәжірибе барысында орындалатын оқиға.

Мысал 2: Жұмыртқаны пісіргенде пайда болатын оқиғаларды қарастырайық:

А= жұмыртқаның пісуі ;

В= жұмыртқаның піспеуі ;

С= піскен жұмырқадан балапанның шығуы

А, В оқиғалары – кездейсоқ оқиғалар, яғни айқын оқиғалар, С оқиғасы – жалған оқиға.

Мысал 3: Немесе ойын тасын (біртекті куб) тастағанда, ол алты жағына түсуі мүмкін. Егер оларды 1, 2, 3, 4, 5, 6 деп белгілесек, 7 түсуі жалған, осы алты жағының бірі түсуі айқын оқиғалар.

Ал жұп ұпайдың түсуі, түспеуі кездейсоқ оқиға, өйткені оның яғни 2, 4, 6 жағының түсуін алдын-ала болжай алмаймыз. Ол нәтижеге байланысты. Нәтиже дегеніміз, кездейсоқ тәжірибені аяқтайтын және бір-бірін өзара жоққа шығаратын нұсқалардың бірі.

Мысалы 4:

1. Тиынды лақтырғанда — екі нәтиже: елтаңба және цифр жағының түсуі

2. Ойын тасын лақтырғанда — 6 нәтиже: 1, 2, 3, 4, 5, 6 жағының түсуі

Оқиғаның ықтималдығы әрқашан оң сан болады немесе нөлге тең болады. Ол 1-ден артық бола алмайды, себебі ықтималдық анықталатын бөлшектің алымы бөлімінен үлкен сан бола алмайды (себебі қолайлы оқиғалар саны барлық оқиғалар санынан артпайды).
Ықтималдықты кездейсоқтықтың сипаттамасы деп қарастырамыз. А оқиғасының ықтималдығын Р(А) деп белгілейік, онда оқиға қандай болса да,
.
Оқиғаның орындалуы айқын болған сайын ықтималдық 1-ге, ал оқиғаның орындалу мүмкіндігі азайған сайын немесе жалған ықтималдық 0-ге жақындайды.
1.2. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.

Сонымен, біз кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы сол оқиғаны құрайтын нәтижелер ықтималдығынан шығады деп қарастырдық. Егер осы нәтиженің ақырғы саны мен олардың ықтималдықтары белгілі болса, онда кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын сол оқиғаға кіретін нәтижелер ықтималдығының қосындысы ретінде қарастыруға болады:
Мысал 1:
А= жұп сан түсуі = 2, 4, 6 ;
В= 3 тен кем сан түсуі = 1, 2 ;
С= жай сан түсуі = 2, 3, 5 ;
Р(С) = Р(2) + Р(3) + Р(5)
Жауабын табу үшін әрбір нәтиженің ықтималдығын анықтау керек. Бұл оңай емес. Бірақ ойынтасы үшін, бәрі айқын, яғни барлық нәтиже бір және жалғыз ықтималдыққа ие: ; Неге біз оған сенімдіміз? Себебі, ол — ойынтасының симметриясына байланысты. Ойынтасының әрбір алты жағының қалған бес жағынан еш артықтығы жоқ. Бұдан біз тәжірибенің 6 нәтижесінің бірдей ықтималдығы болатынын анықтаймыз. Дәл осыны тиын лақтыру барысындағы екі нәтижеге байланысты айтуға болады, яғни ықтималдығы: ;
Мұндай нәтижелер — теңмүмкіндікті нәтижелер. Ақырғы саны бар теңмүмкіндікті нәтижелерден тұратын тәжірибе үшін кез келген кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын есептеудің қарапайым шартынан ықтималдықтың классикалық анықтамасы немесе Лаплас формуласы деп аталатын формуланы қорытып шығаруға болады:

Мысал 2:

Ойынтасын лақтырғандағы нәтижелер санын еске түсірейік:

А= жұп сан түсуі = 2, 4, 6 ;

В= 3 тен кем сан түсуі = 1, 2 ;

С= жай сан түсуі = 2, 3, 5 ;

Тәжірибеде теңмүмкіндікті нәтижелер саны n=6. Қолайлы нәтижелер саны:

mA=3, mB=2, mC=3,

; ; ;
(Даламбер қатесі):

Екі бірдей тиынды лақтырайық. Олардың бірдей жағының түсу ықтималдығы қандай?

(Даламбер шешімі): Тәжірибенің үш теңмүмкіндікті нәтижесі бар:

1. екеуі де елтаңба жағымен түседі

2. екеуі де цифр жағымен түседі

3. тиынның біреуі елтаңба, біреуі цифр жағымен түседі

Бұл жерден бізге қолайлы нәтиже саны — 2, сондықтан ізделінген ықтималдық .

Дұрыс шешімі: Тәжірибенің төрт теңмүмкіндікті нәтижелері бар:

1. Бірінші тиын елтаңба жағымен, екіншісі де елтаңба жағымен түседі

2. Бірінші тиын цифр жағымен, екіншісі де цифр жағымен түседі
3. Бірінші тиын елтаңба, екінші тиын цифр жағымен түседі
4. Бірінші тиын цифр жағымен, екінші тиын елтаңба жағымен түседі
Бұл жерден бізге қолайлы оқиға саны — екі, сондықтан ізделінген ықтималдық -ге тең.
Осындай қателіктер жібермес үшін тағы да қызықты бір мысал қарастырайық:
Мысал 3: Қорапта 2 ақ, 2 қара шар бар. Одан 2 шарды қатар алсақ, екеуінің де бір түсті болып шығу ықтималдығы қандай?
Шешімі. Тәжірибедегі мүмкін нәтижелер:

1. 2 ақ шар шығу

2. 2 қара шар шығу

3. бір ақ, бір қара шар шығу.

Қолайлы нәтижелер саны — екі, бұдан:

n=3, m=2, .

1.3. Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы.

Алдыңғы тақырыпта біз тәжірибенің ақырлы санға тең теңмүмкіндікті нәтижелер бойынша оқиғаның ықтималдығын анықтадық.

Ал егер нәтижелер саны ақырсыз болса не істейміз? Мұндай жағдай кейбір геометриялық есептеулерде кездеседі.

Мысал 1: Әлемнің географиялық картасында (мысалға көзімізді жұмып) кездейсоқ нүктені көрсетейік. Бұл нүктенің Қазақстан жері болып шығу ықтималдығы қандай? Бұл сұраққа жауап беру үшін Қазақстан әлем картасының қанша бөлігін алатынын білу қажет. Яғни картаның барлық ауданының Қазақстан қанша бөлігін алатынын білу қажет. Бұл аудандардың қатынасы ізделінді ықтималдықты береді.

Берілген бір шектелген облысты деп белгбелгілейік. Егер облысының кез келген нүктесіне түсу теңмүмкін болса, онда кездейсоқ нүктенің берілген А жиынына түсу ықтималдығы аудандардың қатынасына тең болады:

,
мұндағы Р — ықтималдық, S – аудан. Бұл ықтималдықтың геометриялық анықтамасы.
Мысал 2: Жазықтықта шеңбер және шеңбер ішінде үшбұрыш берілсін. Шеңбер ішінен бір нүкте алайық. Онда нүктенің үшбұрышта жату ықтималдығын қалай анықтаймыз?
Егер шеңбер ауданы ауданның n бөлігін құраса, ал үшбұрыш ауданы m бөлігін құраса, онда






Мысал 3: Дәптерге салынған бұрышты транспортирмен өлшегенде, оның 900 –тық бұрыштың өлшемінде жату ықтималдығы қандай?
Шешімі:
m=900 –тық бұрыштың өлшемінде жатуы
n=1800 –тық бұрыштық өлшемі

2. Ықтималдықтың қасиеттері.
2.1. Кері оқиға және оның ықтималдығы. Эйлер диаграммасы.
Тәжірибенің барлық мүмкін нәтижелерінің жиынын деп белгілеп, біз әрбір элементер нәтижені осы жиынның элементі ретінде , ал әрбір кездейсоқ оқиғаны осы жиынның ішкі жиыны деп қарастырдық.
Оқиғаны бұлай қарастырғаннан кейін, оларға біріктіру, қиылыстыру, толықтыру операцияларын қолдану қажетті. Толықтырудан бастайық.
Ескерту: Аталмыш жиындардың барлығы жиынынң ішкі жиындары.
Анықтама (жиындар үшін): Егер жиыны жиынының А жиынына кірмейтін элементтерінен құралса, онда жиыны А жиынының толықтауышы деп аталады.
Анықтама (оқиғалар үшін): Егер А оқиғасы орындалмағанда оқиғасы орындалса, онда оқиғасы А оқиғасының кері оқиғасы деп аталады.
Анықтамалар екі түрде берілгенімен, мағынасы жағынан бірдей екенін көруге болады.

Мысал 1: Сатып алынған төрт лотерея билеттерін ойнатқандағы кездейсоқ оқиғалар ретін қарастырайық:

А= номері бірінші билеттің ұтуы

В= 3 тен кем билет ұтуы ;
Онда бұларға кері оқиға:

= номері бірінші билеттің ұтпауы ;

= үшке тең немесе үштен артық билеттің ұту ;

Мысал 2: оқиғасына кері оқиға - «тақ ұпай түсуін» білдіреді.

Кері оқиғаның ықтималдығы формуласымен есептеледі.

Мысал 3: Екі ойын тасын лақтырғанда, екеуінде де әртүрлі ұпай саны түсу ықтималдығын табу керек:

А= ойынтастарында әртүрлі ұпай сандарының түсуі ;

= ойынтастарында бірдей ұпай сандарының түсуі ;

немесе
= (1:1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6) ;
Бұдан
және .
Осы және алдыда қарастырылатын бөлімдердегі оқиғалардың қатынастарын арнайы суреттердің көмегімен бейнелеу өте ыңғайлы. Мұндай бейнелеудің Эйлер диаграммасы атын алған түрін қолдансақ, онда әр оқиға дөңгелек немесе басқа да әртүрлі фигуралар түрінде бейнеленеді. Және барлық оқиғалар бір төртбұрыштың, яғни тәжірибенің барлық нәтижелерінің жиынының ішінде болуы қажет:












2.2. Оқиғалардың бірігуі және қиылысуы.
Анықтама (жиындар үшін): А және В жиындарының элементтерінің түгел жиынтығынан тұратын С жиыны осы екі жиынның бірігуі (кейде қосындысы) деп аталады.
Анықтама (оқиғалар үшін): А және В оқиғаларының ең болмағанда біреуі орындалғанда орындалатын С оқиғасы олардың бірігуі деп аталады.
Оқиғалардың бірігуі:
Эйлер диаграммасында оны


бейнелейді.
Мысал 1: Асық лақтырып ойнағанда пайда болатын кездейсоқ оқиғалар ретін қарастырайық:
1) А= бүк жағы түсуі ;
В= шік жағы түсу ;
А В= бүк жағы түсуі; шік жағы түсуі ;
2) А= алшы жағы түсуі; бүк жағының түспеуі ;
В= тәйке жағы түсуі; бүк жағы түспеуі, ;
А В= алшы жағы түсуі; тәйке жағы түсуі; бүк жағының түспеуі ;
Анықтама (жиындар үшін): А және В жиындарының барлық ортақ элементтерінен тұратын С жиыны осы екі жиынның қиылысуы (кейде көбейтіндісі) деп аталады.
Анықтама (оқиғалар үшін): А және В оқиғалары қатар орындалғанда орындалатын С оқиғасы олардың қиылысуы деп аталады.
Оқиғалардың қиылысуы:
Эйлер диаграммасында оны



бейнелейді.
Мысал 2: Алғашқы мысалды қарастырайық.
1) А= бүк жағы түсуі ;
В= шік жағы түсуі ;
А В=
2) А= алшы жағы түсуі; бүк жағының түспеуі;
В= тәйке жағы түсуі; бүк жағы түспеуі;
А В=бүк жағының түспеуі;
Ескерту: Математикада Ø белгісі – бірде бір элементі жоқ, бос жиын дегенді білдіреді.


2.3. Оқиғаларды Эйлер диаграммасында бейнелеуге мысалдар.







Оқиғалардың бірігуін және қиылысуын Эйлер диаграммасында осылай бейнеледік.
Енді келесі оқиғаларды бейнелейік.

А)





Ә)



Б)





А және Ә мысалдарында оқиғалардың қиылысуы бос. Оны оқиғалар тілінде сөйлетсек, олардың қиылысу болып бос жиын саналады.
В мысалында екі оқиғаның бірігуі бастапқы оқиғалардың біріне тең.
Тапсырма 1: Енді осындай оқиғаларды өздерін Эйлер диаграммасында бейнелеп көріңдер.

3. Ықтималдықтың ережелері және шартты ықтималдық.
3.1. Үйлесімсіз оқиғалар. Ықтималдықтың қосу ережесі.
Анықтама: Егер А және В оқиғалары бір кездейсоқ тәжірибе нәтижесінде қатар орындалса, онда олар үйлесімді оқиғалар деп аталады.
Анықтама: Егер А және В оқиғалары бір кездейсоқ тәжірибе нәтижесінде қатар орындала алмаса, онда олар үйлесімсіз оқиғалар деп аталады.
Мысал 1: «Далада жаңбыр жауып тұр», «аспанда бір де бұлт жоқ» - үйлесімсіз оқиғалар.
Мысал 2: Айдын мен Марат шахмат ойнады. А- «Айдын жеңді», В – «Марат жеңілді» - үйлесімді оқиғалар.
Мысал 3: Келесі А және В оқиғалары үйлесімсіз:
а) тиынды лақтырғанда:
А=( елтаңба жағының түсуі);
В=( цифр жағының түсуі);
б) Жәшіктен екі алма алынды:
А=( екеуінің де қызыл болуы);
В=( екеуінің де көк болуы);
Ескерту: Үйлесімсіз оқиғалар жайлы айтқанда, олардың бір тәжірибе аясында қарастырылатынын ескерген жөн.
Егер А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, онда немесе А, немесе В оқиғасы орындалады. Бұл деп отырғанымыз

Бұл теңдік үйлесімсіз оқиғаларға арналған ықтималдықтың қосу ережесі деп аталады. Ол кездейсоқ оқиғаның кез келген санына байланысты өзгереді:

m – А оқиғасына қолайлы барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, k – В оқиғасына барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, n – барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Онда,

, . .
Мысал 4: Бірінші жәшікте 12 түрлі-түсті шарлар, екінші жәшікте 10 түрлі-түсті шарлар бар. Кездейсоқ бір жәшіктен бір шар алынды. Дәл осылай шарды неше әдіспен таңдап алуға болады?
Бірінші жәшіктен шарды 12 әдіспен, екінші жәшіктен 10 әдіспен таңдап алуға болады. Демек, 12+10=22.
Ал егер А және в оқиғалары қиылысса, яғни үйлесімді болса ықтималдықтың қосу ережесі қандай болады? Онда мынадай күрделі ережені жазайық:

Дәлелдеуі оңай:
Р(А)+Р(В) қосындысы – А және В оқиғаларының элементтерін жекежеке есептеп қосқанға тең. Сондықтан бұл қосынды құрамына А В қиылысуына енетін элементтер саны екі рет еніп отыр: бір рет А құрамында, екінші рет В құрамында. Олай болса,
.
m – А оқиғасына қолайлы барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, k – В оқиғасына барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Айтылып өткен m+k оқиғасының ішінде А және В оқиғасына да қолайлы қарапайым оқиғалар бар болсын. Ал n – барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Онда,

, . .
Мысал 5: Екі қылмыс жасаған адамдар ізделінуде. Екеуі бір-біріне тәуелсіз тәулік ішінде 0,5 ықтималдықпен ұсталынуы мүмкін. Тәулік ішінде ең болмағанда бір қылмыскердің ұсталу ықтималдығы қандай?
А – “ең болмағанда бір қылмыскер ұсталды”. Бұл оқиғаны қарапайым оқиғаларға бөлейік: В1 – бірінші қылмыскер ұсталды, ал В2 – екінші қылмыскер ұсталды. Онда, А=В1+В2, демек Р(А)=Р(В1+В2).
Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2)-Р(В1 В2) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.

3.2. Тәуелсіз оқиғалар. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтың көбейту ережесі.
Бір тәжірибеден туындайтын кез келген А және В оқиғаларын қарастырайық. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болды дейік. Онда В оқиғасы туралы не айтуға болады?
Мысал 1: А және В үйлесімсіз және тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болсын. Эйлер диаграммасын құрайық.

В оқиғасы орындалған жоқ.
Мысал 2: , тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы орындалсын. В оқиғасы туралы не айта аламыз? Эйлер диаграммасын құрайық.

В оқиғасы орындалды.
Мысал 3: Екі асық лақтырылсын. Пайда болатын оқиғалар:
А=( бірінші асықтың бүк жағы түседі);
В=( екінші асықтың шік жағы түседі);
А оқиғасының орындалғаны анық болса, В оқиғасы туралы не айтуға болады? Бұл жерде бірінші асықтың тәжірибесіндегі нәтиже екінші асықтың тәжірибесіндегі нәтижеге әсер ете алмайды. Демек, А және В оқиғалары бір-бірінен тәуелсіз.
Анықтама: Егер А оқиғасының орындалуы немесе орындалмауы В оқиғасының орындалуына немесе орындалмауына әсер етпейтін болса, онда бұл А және В оқиғалары өзара тәуелсіз деп аталады.
Мысал 4: 1-ден 10-ға дейінгі натурал сандар арасынан кез келген бір сан таңдап алынады. Пайда болатын оқиғаларды қарастырайық:
А=( алынған сан 2-ге бөлінеді );
В=( алынған сан 3-ке бөлінеді);
Қарап тұрсақ, санның 2-ге бөлінгіштігінің 3-ке бөлінгіштігіне еш қатысы жоқ сияқты. Дегенменде, олар бір-біріне тәуелді.
Алдымен В оқиғасының ықтималдығын анықтайық. Барлық он сан ішінен 3-ке тек үш сан – 3, 6, 9 бөлінеді. Онда Р(В)= .
Алынған сан 2-ге бөлінеді дейік. Яғни А оқиғасы орындалды, бірақ алынған сан –белгісіз. Бұл алынған санның 3-ке бөліну ықтималдығы қандай? Алынған санның 2-ге бөлінетіндігін дәл білгендіктен, ол сан мына бес сандардың біреуі болуы мүмкін: 2, 4, 6, 8, 10. Бқл сандардың ішінен 3-ке тек 6 ғана бөлінеді.
Мұндай шарттардан соң, В оқиғасының ықтималдығы -ке тең.
< болғандықтан, В оқиғасының мүмкіндігі азайды.
Демек, бұл жерде А және В оқиғаларын тәуелсіз деп айтуға болмайды.
А және В оқиғаларының қиылысуын қарастырайық:
1) бірінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы бос болса, онда В орындалмайды.
2) екінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы барлық А-мен беттессе, онда В қатаң орындалады, себебі қалған нәтижелер В оқиғасына қолайлы.
3) төртінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы бос емес және беттеспесе, онда В оқиғасының ықтималдығын А В-ның нәтижелер санын А-ның нәтижелер санына қатынасы түрінде анықтаған дұрыс. Егер А оқиғасы орындалса, онда бұл ықтималдықты В оқиғасының шартты ықтималдығы деп атайды:

Егер В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының орындалуы немесе орындалмауынан өзгермесе, яғни оның шартты ықтималдығы

болса, онда В оқиғасы А оқиғасынан тәуелсіз.
Бұл теңдікті шартты ықтималдық теңдігімен теңестірейік:
.
Бұл теңдік орындалса, оқиғалар тәуелсіз деп аталады. Ал соңғы теңдік ықтималдықтың көбейту ережесі деп аталады.
Мысал 5: Дидарда үйге кіру үшін 3 кілт бар. Қараңғыда ол есікке кілтті кездейсоқ әдіспен таңдап, аша бастайды. Әр есікті ашуға 5 секундтан уақыт кетеді. Оның 15 секундта барлық есіктерді ашу ықтималдығын табыңдар.
А – “барлық есіктердің ашылуы”. Бұны қарапайым оқиғаларға бөлейік. В – “бірінші есік ашылды“, С – “ екінші есік ашылды“, ал D – “ үшінші есік ашылды“. Онда А=ВСD, демек Р(А)=Р(ВСD).

. .
4. Комбинаторика және ықтималдықты есептеу.
4.1. Алмастыру және орналастыру. Факториал.
Комбинаторика сөзі латынның “combino” – біріктіремін дегенді білдіреді. Шыныменде кез келген комбинацияны әртүрлі әлементтерді бір-бірімен біріктіру арқылы аламыз. Комбинаторикада әр комбинацияға өз атын береді. Біз соның қазір екі түрімен танысамыз – алмастыру және орналастыру.
Алдымен факториалмен танысайық.
n элементтен тұратын орналастыруды құруда бірінші элементті n әдіспен таңдауға болады, одан кейін екінші элементті (n-1) әдіспен (себебі алдында бір элемент бар), одан кейін үшінші элементті (n-2) әдіспен, одан әрі қарай тағыда сол сияқты таңдалынады.
Барлығы: орналастыру аламыз. Бұл 1-ден бастап n-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісі математикада n санының факториалы деп аталып, n! Деп белгіленеді.
Мысал 1:
Ескерту: Қолайлы болу үшін 0!=1 деп алынады.
Қайталанбалы орналастырулар.
Айталық, бізге бос емес Х жиыны берілсін. Осы жиынның элементтерінен кұрастырылған мынадай тізімді карастырайық:

Мұнда кейбір элементтер кайталанып орналасуы мүмкін. Бұл түрдегі әрбір элементтер тізімін X жиынының элементтерінен түзілген ұзындыгы k-га тең шеру деп атайды.
Анықтама. Егер п(Х)=п болса, онда Х жиынының элементтерінен құралған әрбір ұзындығы k-га тең шеруді п-нен k бойынша алынған қайталанбалы орналастыру деп атайды. Ал барлық n-нен k бойынша алынған қайталанбалы шерулер санын арқылы белгілейді және бүл санды мына формуламен анықтайды:

Дәлелдеу. Шынында да, шерудің әрбір орнында X жиынының кез келген элементі орналаса алады. Онда көбейту ережесі бойьшша

Дәлелдеу керегі де осы.
Мысал 1: 3 түрлі нәсілді 6 материкке неше түрлі әдіспен қоныстандыруға болады?
Жауабы:

4.2. Қайталанбайтын орналастырулар. Алмастырулар
X жиыны п элементтен кұралған жиын болсын. Онда Х-тің элементтерінен құралған, ұзындығы k-ға тең және элементтері кайталанбайтын әрбір шеруді п-пен k бойынша алынган қайталанбайтын орналастыру деп атайды. Қайталанбалы орналастыруда п және k кез келген натурал сандар болуы мүмкін. Ал кайталанбайтын орналастыруларда n k болуы қажет. X жиынының элементтерінен құралған барлык n-нен k бойынша алынған кайталанбайтын орналастырулар санын арқылы белгілейді және мынадай формула орындалады:

немесе
.
Шынында да, ұзындығы k-ға тең шерудің бірінші орнында Х жиынының n түрлі элеметтерінің кез келгені орналаса алады, ал екінші орында, элементтері кайталанбайтындықтан, қалған n-1 түрлі элементтердің кез келгені орналаса алады және т.с.с. k-сыншы орында әр түрлі п-k+1 элементтер орналаса алады. Сондықтан көбейту ережесі бойынша теңдігі орындалады. Осыдан

Егер п=k болса, онда кайталанбайтын орналастыруды п элементтің алмастыруы деп атайды. Барлық п элементтен алынған алмастырулар санын Рп арқылы белгілейді және

Шынында да 0!=1 болатынын ескерсек, онда
.
Мысал 1: 8 қаладан өтетін саяхат бағытын неше түрлі тәсілмен құруға болады?
Шешімі:
Бірінші қаладан шығатын болғандықтан, қалған қала саны 7 болады:
7!=
Мысал 2: Мектептегі оқушылардың «Жас спортшылар» ұйымына 9 оқушы таңдалды. Енді осы оқушылар арасынан ұйымның басшысы мен орынбасарын таңдау қажет. Оны неше әдіспен таңдауға болады?
Шешімі:
9 оқушыдан тұратын ұйымнан 2 оқушы таңдалады. Оқушылар қайталануы мүмкін емес. Демек, 9 оқушы арасынан 2 адамды қайталанбайтын орналасу санын табу қажет. Яғни, басшы мен оның орынбасарын әдіспен таңдауға болады.

4.3. Қайталанбайтын терулер
Анықтама: п элементі бар X жиыныныц әрбір k элементті ішкі жиынын п-нен k бойынша алынган қайталанбайтын теру деп атайды. Ал барлық п-нен k бойынша алынған қайталанбайтын терулер санын арқылы белгілейді.

формуласы орындалады. Мұнда санын теру коэффициенті деп атайды.
Дәлелдеу. теңдігі орындалады. Шынында да, әрбір п-нен k бойынша алынған кайталанбайтын теруді түрлі тәсілмен алмастыру арқылы барлық n-нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыруды аламыз.
Мысал 1:
Бәйге жарысына жылқышы 16 тұлпарлардың арасынан 8 тұлпарды таңдады. Егер бәйгеге 4 тұлпардың қатысатыны белгілі болса, онда жылқышы тұлпарларды неше түрлі тәсілмен таңдай алады?
Шешімі:
Барлық 16 тұлпардан 4-уі нақты қатысатыны белгілі болса, онда 16-4=12. Ал таңдалатын 8 тұлпардың 4-уі нақты қатысатын тұлпарлар, онда 8-4=4. Яғни қалған 12 тұлпардан 4 тұлпарды кез келген әдіспен таңдауға болады.


5. Негізгі формулалар.
5.1. Толық ықтималдықтың формуласы.
үйлесімсіз оқиғалар берілсін. А оқиғсы осы үйлесімсіз оқиғалардың біреуімен қатар пайда болады дейік. Ықтималдықтың көбейту ережесі бойынша А оқиғасының оқиғасымен бірге пайда болуының ықтималдығы , ал оқиғасымен бірге пайда болу ықтималдығы , ал оқиғасымен бірге пайда болу ықтималдығы болады.
үйлесімсіз оқиғалар болғандықтан, оқиғаларының ықтималдықтарды қосу ережесін қолданып, А оқиғасының пайда болу ықтималдығын табамыз.

Бұл теңдік А оқиғасының толық ықтималдығы деп аталады.
Мысал 1: Атмосфераны тропосфера, стратосфера, мезосфера, экзосфера деп аталатын қабаттарға бөледі. Белгілі бір тексеруде алынған қабаттардың бірінің алыну ықтималдығы сәйкес: 0,75; 0,25; 0,6; 0,5;. Ал белгілі бір мерзімде олардағы ауа мөлшерінің өзгеру ықтималдықтары сәйкес: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4;. Кездейсоқ тексеруде алынған қабаттағы ауа мөлшерінң өзгеру ықтималдығы қандай?
Шешімі:
А – алынған қабатта ауа мөлшері өзгереді
А1- тропосфера қабаты
А2- стратосфера қабаты
А3- мезосфера қабаты
А4- экзосфера қабаты





5.2. Байес формуласы
А оқиғасы үйлесімсіз оқиғаларымен бірге пайда болсын. Бұл оқиғалардың ықтималдықтары және шартты ықтималдықтары , ..., арқылы белгіленсін. А оқиғасы болып өтті делік. А оқиғасымен бірге оқиғаларының пайда болу ықтималдығын табайық. Ықтималдықтың көбейту ережесі бойынша


Мұнда Р(А)-ның орнына А оқиғасының толық ықтималдығы алынады.

Бұл формула Байес формуласы деп аталады.
Мысал 1: 2000 жылы әлемдік экспорттың Азия елдеріне 40% пайызы, Сингапурға 20% пайызы, Корея Республикасына 30% пайызы тиесілі. Азия елдері экспортының 80 % -ы, Сингапур елінің 70% пайызы, Корея Республикасының 90% пайызы бірінші сортқа жатады. Әлемдік экспортқа шыққан бұйымдардан сатып алынған бір бұйымның бірінші сортқа жататындығы анықталды. Алынған бұйымның Азия елдері экспортынан болу ықтималдығы қандай?
Шешімі:
А – бірінші сортқа жатады.
А1- Азия елдері экспортынан алынуы
А2- Сингапур экспортынан алынуы
А3- Корея Республикасы экспортынан алынуы




5.3. Бернулли формуласы.
Бір тәжірибеден кейінгі А оқиғасының орындалу ықтималдығы p-ға тең болсын, ал орындалмауы .
Онда n қайталанбалы тәжірибеден кейін А оқиғасының орындалу ықтималдығы m-ге тең болу ықтималдығы қандай? Бұл оқиғаны « » деп жазайық. -ді іздестіреміз.
n тәуелсіз тәжірибе нәтижесінде пайда болған оқиғасында А оқиғасы m рет орындалсын, ал орындалмағаны болсын. Орындалмағанын деп белгілейік.
А А А ... А


...

m тор А әріптерімен, n-m тор әріптермен толтырылған оқиғасы болсын. Онда дәл осындай оқиға А әрпінің m санымен және әрпінің n-m санымен қанша қайталанбалы орналастыру орындалса, соншалықты орындала алады. Бұндай оқиғалар санын N деп белгілейік.
. (1)
Біз іздестіріп отырған « » - , , ..., N оқиғаларының бірігуін көрсетеді. Олар теңмүмкіндікті және жұптарымен үйлесімсіз, сондықтан
. (2)
Бірақ та,
.
Тәжірибе тәуелсіз және болғандықтан, көбейту ережесі бойынша
(3)
(1), (3) нәтижесін (2)-ге қоямыз:
.
Бұл формула Бернулли формуласы деп аталады.

Мысал 1: Жәшікте 3 ақ және 2 қара шар бар. Одан бес рет бір шардан алынып, сосын келесі тәжірибе алдында салынып отырады. Бұл тәжіибе қорытындысында ақ шар кез келген ретпен 3 рет шығу ықтималдығын анықтаңдар.
р = 3/5, ал ақ шар шықпау ықтималдығы — q = 2/5.
Бернулли формуласы бойынша:
Р3,5=С35(3/5)3*(2/5)2=216/625



6. КЕЗДЕЙСОҚ ШАМА. ТАҢДАУ ӘДІСТЕРІНІҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ
6.1. Кездейсоқ шама.
Ықтималдықтар теориясындағы маңызды ұғымдардың бірі – кездейсоқ шама. Ендеше келесі мысалға көңіл бөлейік:
1) Қалалық көлік қозғалысын бақылауда бір сағат ішінде кездейсоқ қиылыстан өтетін машиналар саны – кездейсоқ мән қабылдайды.
2) Хаттар санағында кездейсоқ пошта бөліміне әр кун сайын түсетін хаттар саны - әр түрлі кездейсоқ мән қабылдайды.
Бұл мысалдар мазмұны бойынша әр түрлі, бірақ олардың ортақ мағынасы бар:
1) Әр мысалда кездейсоқ оқиғаны бейнелейтін шама туралы айтылады.
2) Бұр әрбір шама кездейсоқ тәжірибе нәтижесіндегі сәйкес мән қабылдайды.
Анықтама: Алдын ала белгісіз, тек тәжірибе нәтижесінде анықталатын бір мәнді шаманы кездейсоқ шама деп атайды.
Кездейсоқ шама кездейсоқ оқиғамен тығыз байланысты. Егер кездейсоқ оқиға тәжірибенің сапалық сипаттамасы болса, ал кездейсоқ шама оның сандық сипаттамасы береді.
Мына мысалдарға назар аударайық:
1) Оқты 4 рет атқандағы дәл тигізу саны;
2) Ұялы телефонға бір күнде түскен хаттар саны;
3) Қаңтар айындағы қалаға жауған қардың мөлшері.

Бұл арада кездейсоқ шамалар алдын-ала көрсетілген жеке тиянақты мәндерді қабылдайды.
Анықтама: Мәндері жеке дара тиянақты сандар болатын кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атайды.
Басқа типті кездейсоқ шамалар да бар. Мысалы:
1) нысанаға атқанда тигізген нүктенің абсциссасы;
2) белгілі биіктікке көтерілгенде ұшатын аппараттың жылдамдығы;
3) денені аналитикалық таразымен өлшегенде кететін қателіқ;
4) кездейсоқ алынған дәннің салмағы.
Берілген кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері бір-бірінен алшақ емес. Олар үзіліссіз шеткі нүктелері бар, ал кейде анықталмаған қандай да бір сандық аралықты толтырады.

Анықтама: Мәндері үзіліссіз белгілі бір [а; b] кесіндісінде (мұндагы а < b, а және b тиянақты нақты сандар) орналасқан кездейсоқ шаманы үзіліссіз кездейсоқ шама деп атайды.
х1, х2,..., хn мәндері болатын X дискретті шамасын қарастырайық. Әрбір мәннің болуы мүмкін, бірақ ақиқат емес. X кездейсоқ шамасы х1, х2,..., хn мәндері қандай да бір р1, р2, ...,рп ықтималдықтарын қабылдайды.
Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері және олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік берілген кездейсоқ шаманың таралу заңдылығы деп аталады.
Дискретті X кездейсок шамасының таралу заңдылығын кестемен берген ыңғайлы:
Х х1 х2 ... хn
р p1 p2 … pn
Кестенің бірінші жолында кездейсоқ шаманың барлык мүмкін болатын мәндері, ал екінші жолында олардың ыктималдықтары көрсетілген.
Практикада кездейсоқ шаманы сипаттау үшін кейбір сандық параметрлерді, мысалы, кездейсок шаманың мүмкін болатын мәндер жиынында шоғырланатын қандай да бір орта мән және орта мәнге байланысты олардың орналасуын сипаттайтын қандай да бір санды анықтаса жеткілікті. Осындай ұғымның бірі — математикалық күтім.
Мысал 1: 100 лотерея билеті шығарылған. Оның 40 билеті иесіне 50 теңгеден, 10 билеті 250 теңгеден, 5 билеті 500 теңгеден ұтыс әкеледі, ал калған билеттер ұтыссыз. Бір билетке қандай орташа ұтыс сәйкес келеді?
Шешуі. X кездейсоқ шамасының мәндері0; 50; 250;500теңге
десек, олардың ұтыс ыктималдықтары сәйкесінше —болады.
Мына кестеде оқиғаның таралу заңдылығы берілген:
X 0 50 250 500
р 0,45 0,4 0,1 0,05
Мысалы, қандай да бір ойыншы барлық 100 билетті сатып алса, онда ол 7000 теңге ұтар еді. Ал бір билеттің орташа ұтысы 70 теңге болады (өйткені 7000 : 100 = 70).
Сонда (0 • 45 + 50 • 40 + 250 • 10 + 500 • 5) : 100 = 0 • 0,45 + + 50 • 0,4 + 250 • 0,1 + 500 • 0,05.
Жауабы: 70 теңге.
1-мысалдағы соңғы теңдіктің оң жағында тұрған өрнек кездейсоқ шама мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын береді.
Анықтама: X кездейсоқ шамасы мәндерінің сәйкес ықтималдық мәндеріне көбейтінділерінің қосындысын X кездейсоқ шамасының математикалық күтімі деп атайды.
Математикалық күтімнің белгіленуі: М(Х).

Анықтама бойынша математикалық күтім есептеу формуласы:
М(Х) = хІ + х2р2 + ... + хп-1 рn-1 + хпрп. (1)
Мысал 2: Машина жасауда керекті тетікті дайындау үшін 1, 2, 3, 4, 5 үлгі қолданылады. Ол үлгілердің ықтималдығы мына кестеде берілген:
X 1 2 3 4 5
р 0,2 0,4 0,7 0,5 0,1
10 машина жасауда қолданылатын үлгілер сандарының орташа мәні қандай болады?
Шешуі. Алдымен бір машинаға қажетті орта мәнді анықтаймыз. Содан кейін қорытындыны 10-ға көбейтеміз.
М(Х) = 1 • 0,2 + 0,4 + 3 • 0,7 + 4 • 0,5 + 5 • 0,1 = 5,6.
Сонда 5,5 • 10 = 56. Жауабы: 56.
Математикалық күтімнің қасиеттері:
1)егер С — тұрақты болса, онда
М(С) = С, М(СХ) = СМ(Х);
2) егер Х, Y,Z кездейсоқ шамалар болса, онда М(Х+ Ү + 2) = М(Х) + М(Ү) + М(2)
Кездейсоқ шама мәнінің математикалық күтімге қатысты қандай мөлшерде шашырай орналасуының сандық сипаттамасын беретін ұғымдардың бірі — дисперсия. Бұл ұғымның анықтамасын берместен бұрын ауытқудың анықтамасын берейік.
Анықтама: X кездейсоқ шамасымен М(Х) математикалық күтімнің айырымы, яғни Х-М(Х) ауытқу деп аталады,
X- М(Х) ауытқуы мен оның квадраты (X - М(Х))2 кездейсоқ шамалар болып табылады.
Енді X кездейсоқ окиғасы дисперсиясының анықтамасын берейік.
Анықтама: Ауытқудың екінші дәрежесінің математикалық күтімі X кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп аталады.
Дисперсияның белгіленуі В(Х).
Анықтама бойынша дисперсияның формуласы:
D(X)= M[X-M(X)]2
Дисперсияның қасиеттері:
1) егер С тұракты болса, онда
D(Х) = 0;
D(СХ) = С2D(Х);
2) D(X) = М(Х2) – М2(Х);
3) X және Ү кездейсоқ шамалар болса, онда
D(Х+Ү) =D)(Х) + D(Ү).
Математикалық күтімнің қасиеттерін қолданып, (2) және (3) формулаларының мәндес екенін дәлелдеуге болады.
Мысал 3. Дискретті кездейсоқ шама мына таралу заңдылығымен берілген:

X 0 1 2 3 4
р 0,2 0,4 0,3 0,08 0,02
Кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңдар.
Шешуі. Алдымен математикалық күтімді М(Х), содан кейін М(Х2) есептейміз:
М(Х) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 2 • 0,3 + 3 • 0,08 + 4 • 0,02 = 1,32, МСХ2) = 0 • 0,2 + 1 • 0,4 + 4 • 0,3 + 9 • 0,08 + 16 • 0,02 = 2,64. (3) формула бойынша: D(Х) = 2,64 - 1,7424 = 0,8976.
Жауабы: 0,8976.
6.2. Таңдау әдістерінің элементтері.
Қандайда бір құбылыс, процесстерден тәжірибе немесе бақылау арқылы қорытынды шығару - математикалық статистиканың ең басты мақсаты. Мұндай статистикалық құбылыстар құбылыстың ықтималдығының жалпы сипаттамасын тұжырымдайды.
Таңдау әдісі дегеніміз — таңдау аркылы алынған қандай да бір объект бөлігінің қасиеттерін қарастыру арқылы жалпы қасиеттерді зерттейтін статистикалық әдіс.
Таңдау кездейсоқ жүргізілген жағдайда, ықтималдықтар теориясына сәйкес таңдама барлық жиынтықтың қасиеттерін көрсетеді. Көлемі N болатын жиынтықтан алынған кез келген мүмкін болатын п көлемді таңдамалардың тандалу ықтималдығы бірдей.
Практикада кайтарылмайтын таңдау (қайталанбайтын таңдама) өте жиі қолданылады, яғни таңдалатын объектінің алдынан әрбір таңдалған объект жиынтыққа қайтарылмайды. Қайтарылмайтын таңдау ұтысы бар лотерея билеттерін анықтауда, сапаны бақылауда, сонымен қатар демографиялық зерттеулерде қолданылады. Қайтарылатын таңдау (қайталанатын таңдама) тек қана теориялық зерттеуде қарастырылады. Мысалы, белгілі бір уақыт ішінде ыдыс қабырғасымен соқтығысатын броундық бөлшектердің санын анықтау кезінде колданылады.
Таңдау әдісін қолдану кезінде "вариант " және "вариациялық қатар" ұғымдарының маңызы өте зор.
X кездейсоқ шамасының сандық сипаттамасын қарастыру үшін п көлемді таңдаманың х1, х2,..., хп мәндері таңдап алынсын. X кездейсоқ шамасының бақыланған хi мәнін вариант, ал ретімен жазылған варианттар тізбегін вариациялық қатар деп атайды.
Таңдаманың статистикалық таралуы деп вариациялық қатардың хi. варианттар тізбегі мен оларға сәйкес ni жиіліктерін (барлық жиіліктердің қосындысы таңдаманың п көлеміне тең) немесе салыстырмалы wi ( жиіліктерін (салыстырмалы жиіліктердің косындысы бір санына тең) атайды.
Тандаманың статистикалық таралуын тізбектей алынған интервалдар мен оларға сәйкес жиіліктер (жиіліктің интервалы ретінде осы интервалға тиісті варианттар жиіліктерінің қосындысы алынады) арқылы беруге болады.
Мысал 1. Таңдама жиіліктің таралуы түрінде берілген:
хі 2 5 7
р 1 3 6
Салыстырмалы жиіліктің таралуын аныктайық.
Ш е ш у і. Алдымен таңдаманың көлемін анықтаймыз: п = 1+3+6=10. Енді салыстырмалы жиіліктерді табайық:
Салыстырмалы жиіліктердің берілген таралуын жазамыз:
Хі 2 5 7
wi. 0,1 0,3 0,6
Тексеру: 0,1 + 0,3 + 0,6 = 1.
Кесінділері (х1, n1), (х2; n2),..., (хi; ni),..., (хk; nk) нүктелерін қосатын сынықты жиіліктің полигоны деп атаймыз. Мұндағы х{ — таңдаманың варианттары, ал п{ — оларға сәйкес жиіліктер.
Кесінділері ( х1, w1), (х2; w2),..., (хi; wi),..., (хk; wk) нүктелерін косатын сынықты салыстырмалы жиіліктің полигоны деп атаймыз. Мұнда, хi — таңдаманың варианттары, ал wi — оларға сәйкес салыстырмалы жиілік.
Мысал 2. Таңдаманың берілген таралуы бойынша жиіліктер полигонын салайық:
хі 1 4 5 7
ni 20 10 14 6
Шешуі:
Абцисса өсіне хi-дің варианттарын, ал оларға сәйкес ni-дің жиіліктерін ордината өсіне белгілейді. (хi; ni) нүктелерін түзулердің кесінділерімен қосып, жиілік полигонын саламыз.







Қиын есептерді шығару үлгісі
Жаттығу 1: (6-сынып оқулығы, Физикалық география. Алматы «Атамұра 2006». Ә. Бірмағамбетов, К. Мамырова. Қашықтықты қағаз бетінде белгілеу. Масштаб.)
1:100 000 масштабпен берілген Қазақстан Республикасының картасында А қаласынан В қаласына дейінгі арақашықтық 0,006 км берілген. Осы екі қала арасында 100 км сайын бір ауыл орналасқан болса, А қаласынан шыққан жолаушының ізделінді ауылға түсу ықтималдығы қандай?
Шешімі:
1:100 000
0,006 км 600км,
100 км 1 ауыл
5 ауыл
m= 5
n=1
P(А)= = .

Жаттығу 2: (6-сынып оқулығы, Ежелгі дүние тарихы. Алматы «Атамұра 2006». Т. Төлебаев, Р. Құсайынова, М. Дәкенов. Ежелгі Қытай.)
Б.з.б 3 ғасырдың аяғында Цинь патшалығы өзінің шекарасын қорғау үшін Ұлы Қытай қорғанын салды. Қорған 4000 шақырымға дейін созылған, әр 100 метр сайын күзет мұнарасы қойылған. Мұнаралардың тең жартысының биіктігі 10 метр, ал қалғандарының биіктігі одан төмен болса, онда ғұндар шабуыл жасаған алғашқы мұнараның биіктігі 10 метр болу ықтималдығы қандай?
Шешімі:
4000 км 4 000 000 метр,
4 000 000 метр 100 метр 40 000 мұнара
40 000: 2 = 20 000 мұнара (10 метрлік)
m= шабуыл жасалған мұнара
n= 10 метрлік мұнаралар
P(А)= = . (Жауабы: )


Жаттығу 3: Алғашқы қоңырау мерекесіне жиналған 6 сынып оқушыларының 60%-ы ән салды. Ал қалған 12- сі музыкалық аспаптарда ойнады. Мерекеге жиналған оқушылар арасынан кездейсоқ өнер көрсетуге шыққан оқушының музыкалық аспапта ойнау ықтималдығы қандай? : Алғашқы қоңырау мерекесіне жиналған 6