7-8 сынып. Облыстық жасөспірімдер олимпиаданы тапсырмалар.

Математика пәнінен IV жасөспірімдер олимпиадасының іріктеу тапсырмаларының шешімдері
Решение заданий отборочного тура IV юниорской олимпиады по математике
1. 1000! саны неше нөлмен аяқталады?
1.Сколькими нулями оканчивается число 1000!?
Решение:
[ ]+ [ ]+ [ ]+ [ ] =200+40+8+1=249
Ответ: 249
2. 7-ге бөлінетін және 4 цифрасымен аяқталатын алтытаңбалы сандар нешеу?
2. Сколько существует шестизначных чисел, оканчивающихся цифрой 4, которые делятся на 7?
Решение:
Самое маленькое число, удовлетворяющее условию задачи, 100044 самое большое – 999964. Два соседних числа, удовлетворяющие условию, отличаются на 70. Тогда общее число шестизначных чисел, оканчивающихся на 4 и делящихся на 7, равно
+1=12857
Ответ:12857
3. X пен y натурал сандарының көбейтіндісін олардың қосындысына көбейткенде 53476187 шыққан. Осындай барлық x пен y сандарын тап.
3. Найти все натуральные числа x и y такие, что произведение этих чисел, умноженное на сумму этих чисел, равнялось бы 53476187.
Решение:
Необходимо найти натуральные числа x и y, такие что
xy(x+y) = 53476187
Если x или y четное, то xy(x+y) – четное, что не соответствует условию. Если x и y – нечетные, то x+y четное, что также не соответствует условию задачи.
Ответ: таких чисел не существует.
4. 11-ге бөлінетін және цифралары әртүрлі ең кіші үштаңбалы санды тап.
4. Указать наименьшее трехзначное число, все цифры которого были бы различны, и делящееся на 11.
Ответ:132
5. Қабырғалары а-ға тең бес бірдей кубтан құрастырылған тікбұрышты параллелепипед бетінің ауданын тап.
5. Из пяти одинаковых кубов составили прямоугольный параллелепипед. Найти площадь его поверхности.
Решение: Из пяти кубов существует единственный способ составить параллелепипед: кубы составлены в ряд, тогда общая поверхность равна 22а2
Ответ: 22а2
6. Қандайда бір натурал санды 17-ге көбейтіп, көбейтіндінің соңғы цифрасын өшіріп тастаған. Пайда болған санды 23-ке көбейтіп, көбейтіндіден соңғы цифрасын өшіріп тастағанда 220 шықты. Алғашқы санды тап.
6. Некоторое натуральное число умножили на 17. В произведении зачеркнули последнюю цифру, полученное число умножили на 23 и вновь зачеркнули последнюю цифру, в результате получилось 220. Найти исходное число.
Решение:
Последнее число а удовлетворяет соотношению
2200 а
Это число получилось умножением некоторого числа на 23. Следовательно, оно делится на 23 и равно 2208. Частное от деления равно 96, следовательно, первое произведение равное b удовлетворяет соотношению
960 b .
Поскольку b делится на 17, то единственное число, удовлетворяющее этому соотношению равно 969.
969 : 17 = 57
Ответ: 57
7. (a+b)(b+c)(c+a) =5047 теңдігі орындалатындай a,b және c натурал сандары табыла ма?
7. Существуют ли такие натуральные числа a,b и c, что
(a+b)(b+c)(c+a) =5047?
Решение:
Допустим, что a,b,c,удовлетворяют условию задачи
5047= 103 49
Поскольку 103 простое, то какой из множителей
(a+b) , (b+c) , (c+a) не меньше 103. Допустим, что (a+b) 103,
Тогда (b+c)(c+a) 49.
Рассмотрим сумму этих сомножителей (b+c)+(c+a)= (a+b) +2c 103
Получим, что произведение двух натуральных чисел больших 1, меньше суммы этих чисел. Противоречие.
Ответ: Таких чисел не существует.
8. Барлығы 333 оқушысы бар мектепте әрбір екі оқушының бір ортақ танысы бар. Мектепте қалғандары таңдап алынған 111 оқушының кем дегенде біреуін танитындай етіп, әрдайым 111 оқушыны бөліп алуға бола ма?
8. В одной школе учатся 333 школьника, причем любые два школьника имеют одного общего знакомого. Всегда ли можно указать 111 школьников таких, что каждый из остальных знаком хотя с одним человеком из этих 111 школьников?
Решение: Назовем группу учеников, обладающих свойством σ, если каждый из оставшихся учеников знаком хотя с одним человеком из этой группы. Пусть найдется человек, имеющий менее 111 знакомых. Тогда его знакомые образуют группу обладающих свойством σ. Если в школе нет группы со свойством σ. Состоящей из не более чем 111 школьников, то каждый школьник имеет не менее 112 знакомых. Рассмотрим произвольного школьника , пусть его зовут А и выберем 110 его знакомых. Тогда либо они вместе с А образуют группу со свойством σ, либо найдетcя школьник B, который ни с кем из них не знаком. В имеет не менее 112 знакомых, значит А и В вместе имеют не менее222 знакомых, поэтому А и В и школьники, не знакомые ни с А, ни с В образуют группу обладающую свойством σ, в которую не более чем 2+(333 – 222 – 2) = 111 учеников
Ответ: Можно.