Олимпиада есептерінен

Олимпиада есептерінен

1. Математиктің әрбірі қалғандарымен хат алысып тұрады. Хатта үш тақырып туралы айтылады. Математиктердің әрбір жұбы тек бір тақырып туралы хат алысады. Ең кем дегенде ғалымдардың үш жұбы бір тақырып хат алысып тұратындығын, (яғни әрбір қалған екеуімен) дәлелдеңіз.
2. Біреу жоғары қозғалатын экскалаторда секундына бір баспалдақтай жылдамдықпен көтеріледі. 20 қадам жасаған ол жоғарыда болады. Асыққандықтан ол баспалдақтан өтіп жоғарыда болады. Эскалаторда неше баспалдақ бар?
3. Дөңес төртбұрышта қарама-қарсы қабырғалардың ортасынан өтетін түзу диагональдармен бірдей бұрыштар құрастырылады. Диагональдардың тең екендігін дәлелдеңіз.
4. 1, 2, 3,5 сандарынан 121 төрт таңбалы сандар құрастырылған, олардың әрбірінің цифрлары әртүрлі.Осы сандардың арасында міндетті түрде екеуі өзара тең болатындығын дәлелдеңіз.