Ежелгі замандардан бастап адамзат арифметикалық және геометриялық
прогрессиялардың заңдылықтарын қолдана білген.Мәселен, Біздің
заманымызға дейінгі ежелгі вавилондықтардың сына жазу (клинопись)
кестелерінде , ежелгі мысырлық және гректердің папирустарында
арифметикалық және геометриялық прегрессияларға көптеген мысалдар
кездеседі. Ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және
олардың қосындысын таба білген. Архимед(б.з.б.3ғ) фигуралардың
аудандары мен денелердің көлемдерін есептеуде сан тізбегінің бірнеше
мүшелерінің қосындысын таба білген. Ежелгі замандардан геометриялық
прогрессия мүшелерінің еселігі 1-ден үлкен болғанда (g>1) өте жылдам
қарқынмен өсетіндігі жөнінде мынадай аңыз сақталған. Мәселен, ежелгі үнді
патшасы Шерам шахмат ойынынын ойлап тапқан өнертапқышты (оның аты
Сета) марапаттау мақсатында оған қалағанын алуды ұсынады. Сонда Сета
шахмат тақтасындасындағы 64 шаршының біріншісіне -1 дән, екіншісіне -2
дән, үшіншісіне – 4 дән, төртіншісіне – 8 дән және т,с,с., яғни әрбір шаршыға
алдыңғысынан 2 есе көп дән беруді өтінеді. Алғашында патша
өнертапқыштың бұл <<тым болмашы>> тілегіне таң қалып, оны орындауға
бұйрық бергенімен, артынша бұл тілектің орындауға өз қазынасының
қауқарсыз екеніне көзі жетеді. Шынында да, өнертапқыш сұраған дәндер
саны 1+2+22
... 263
қосындысына тең, ал бұл қосынды
18 446 744 073 709 551 615 санына тең. Егер бір пұт астықта 40000 дән бар
десек, онда бұл тілекті орындау үшін 230 584 300 921 369 пұт астық қажет
екен. Қазақстанда бір жылда жиналған астық мөлшері орта есеппен
1 000 000 000 пұтқа тең десек, онда бұл тілекті орындау үшін еліміз ішпей-
жемей 230 584 жыл еңбек етуі қажет.
Жалпы, арифметикалық прогрессия атауы сандардың арифметикалық
ортасы (формуласы) ұғымынан ауысқан, ал геометриялық прогрессия атауы
кесінділерінің геометриялық пропорционалдығынан (формуласы) ауысқан.
Арифметикалық прогрессия мүшелері қосындысының формуласын
грек оқымыстысы Диофант (3ғ) дәлелдеген. Геометриялық прогрессия
мүшелерінің қосындысының формуласы Евклидтің <<Бастамаларында>>
(б.з.б. 3ғ) кездеседі. Прогрессия қатысты бірқатар деректер итальян
метематигі Л. Фибоначчидің <<Абак кітабында>> (1202) кездеседі.Ал шексіз
кемімелі геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысын анықтау
формулаларын француз математигі Никола Шюкеннің <<Үш бөлікттен
тұратын сандар туралы ғылым>> (1484) атты еңбегінде берілген.
Арифметикалық прогрессиялар үшін жазылған формуласы
формуласына байланысты атақты неміс математигі Карл Фредрих Гаусстың
(1777-1855) өмірінен қызықты эпизод аңызға айналған. Мұғалім өзге сынып
оқушыларының жұмыстарын тексеру мақсатында алдындағы оқушыларына
1-ден 40-қа дейінгі сандардың қосындысын табуды тапсырды. Бұл есепті 9
жасар Гаусс бір минутта шығарып, жауабын айтқан. Оның есепті шығару
тәсілі мынадай еді:


1, 2, 3, ...,20
+
40, 39, 38, ..., 21

41,41,41,..., 41
Мұндай парлар саны 20 болғандықтан, берілген қосынды 41*20=820-ға
тең, Яғни Гаусс арифметикалық прогрессия заңдылықтарын қолданды.





2. Егер бір Т≠0 саны бар болса, жəне анықталу облысындағы кез
келген х үшін х-Т жəне х+Т осы облысқа кіретін болса жəне
f(x)=f(x+T)=f(x-T) теңдігі орындалса, онда f(x) функциясы
периодты. Ал Т саны - f(x) функциясының периоды.
3. x∈D(f) аргументінің f(x)=0 болғандағы мəні функцияның
түбірі(немесе нөлі) деп аталады.
4. f(x)=g(x) функцияларының теңдігі бір айнымалысы бар теңдеу
деп аталады. Теңдуді нақты теңдікке айналдыратын айнымалының
мəні теңдеудің түбірі деп аталады.
Теңдеуді шешу дегеніміз осы теңдеудің түбірлерінің жиынын
табу.
Бір уақытта f(x) жəне g(x) өрнектерінің мəні болатын барлық х-
тердің жиыны анықталу облысы деп аталады.
Мысалы мына теңдеудің анықталу облысын тбайық: 31 . x x +=+−
[ ) ( ] () 3; , () ;0, Df Dg =− ∞ =−∞
[ ] () () 3;0. DDf Dg =∩=−


§14. Пара – пар теңдеулер


1. Егер бір теңдеудің шешімі(түбірі) екінші теңдеуге де
шешім(оның да түбірі) болатын болса,жəне керісінше болуы
мүмкін болса, онда мұдай теңдеулер пара – пар(немесе
эквивалентті) деп аталады.

2. Егер де берілген f(x)=g(x) теңдеуінің екі жағына да басқа бір
А(х) функциясын қосатын болсақ, онда бастапқы теңдеуге пара –
пар f(x)+А(х)=g(x)+А(х) теңдеуі пайда болады.

3. Кез келген қосылғышты теңдеудің екінші жағына алдына
қарама – қарсы таңба қойып шығаруға болады.

4. Егер де берілген f(x)=g(x) теңдеуінің екі жағына да басқа бір кез
келген х үшін анықталу облысында мəні бар А(х)≠0 функциясын
көбейтетін(немесе оған бөлетін) болсақ, онда бастапқы теңдеуге
пара – пар f(x)А(х)=g(x)А(х)

() ()
() ()
f xgx
Ax Ax
= ) теңдеуі пайда болады.


§15. Сызықтық функция


1. k мен b кез келген сандар сандар болатын y=kx+b
формуласымен берілген функцияны сызықтық деп атаймыз. Функция туралы түсінік. Функцияның монотондылығы


1. x∈X жиынындағы элементтердің əрқайсысы y∈Y жиынындағы
əр элементіне белгілі бір заңдылық бойынша сəйкес келетін болса,
осы заңдылықты f функциясы деп атаймыз. Жəне де əрқашан y=f(x)
деп жазу ұйғарылған. Х жиыны функцияның анықталу облысы деп
аталады, ал Y жиыны {y∈Y| y=f(x), x∈X} – функцияның мəндер
жиыны деп аталады.

2. D(f) – f функциясының анықталу облысы, Е(f) - f
функциясының мəндер жиыны. D(f) элементтері аргументтің
мəндері деп, ал оларға заңдылық бойынша сəйкестік білдіретін Е(f)
элементтері функцияның мəндері деп аталады.

3. Егер D(f)⊂R жəне Е(f)⊂R болса, онда функция сандық функция
деп аталады.

4. График деп координат жазықтығындағы қос
{(x;y)|y=f(x)}жиыдарының бейнеленуі.

5. Егер Х аралығында х аргументінің үлкен мəніне f(x)
функциясының үлкен мəні сəйкес келсе(кез келген x1,x2∈X үшін
x2>x1⇒ f(x2)>f(x1)) ондай функциясы өспелі деп аталады.

6. Егер Х аралығында х аргументінің үлкен мəніне f(x)
функциясының кіші мəні сəйкес келсе(кез келген x1,x2∈X үшін
x2>x1⇒ f(x2)0 болса бұрыш сүйір, k 0 болса гипербола тармақтары I жəне III ширектерде
орналасады, ал k<0 болса II жəне IV ширекте орналасқан.

3. Гипербола тармақтары координат остеріне қаншалықты
жақындауға тырысса да онымен ортақ нүктесі болмайды.

4. Мысал. Мына функцияның графигін салайық