1-САБАҚ
Сабақтың тақырыбы: 1. 1. Санды өрнектер . Әріпті өрнектер
Оқушыларға мысалдар арқылы санды өрнектер , әріпті өрнектер туралы түсініктер беріледі.
Мысалы . Санды өрнектер : 15-6 , 45 -25 =20 6 мұндағы 20 санды өрнектің мәні. 23 + а - әріпті өрнек , ал а=3 болғандағы 23+3=26 . 26 саны әріпті өрнектің мәні .
Санды өрнектер мен әріпті өрнектер - математикалық өрнектер . Математикалық өрнектер цифрлармен , амал таңбаларымен , әріптермен жазылады. Математикалық өрнектер қажет болған жағдайда жақшамен де жазылады.Математикалық өрнектерді жазуда латын әріптері пайдаланылады. Математикалық өрнектер белгілі бір шарттармен жазылады. Мысалы , өрнектегі көбейткіштер әріптермен беріліп , олар қатар келсе , араларына көбейту таңбасы салынбайды. , ал сан көбейткіш жақшаның артында келсе , , жақша мен сан көбейткіш арасына көбейту таңбасы қойылады.
Математикалық өрнектер мәндері бойынша салыстырылады , Егер салыстыруда қос теңсіздік пайдаланылса , қос теңсіздік солдан оңға қарай өсу ретімен жазылады.
Сандар теориясы — математиканың бүтін, рационал және алгебралық сандардың қасиеттерін зерттейтін саласы. Әсіресе оңнатурал сандар 1, 2, 3, …, оның қасиеттері мен оларға арифмет. амалдар қолдану Сандар теориясының зерттеу аясында ерекше орын алады. Грекияда б.з.б. 6 ғ-да (Пифагор мектебінде) бүтін сандардың бөлінгіштігі зерттеліп, бүтін сандардың жеке түрлері (мыс., жай сандар, құрама сандар, квадрат сандар) ажыратылды, кемел сандардың құрылымы қарастырылды. Евклид “Негіздерінде” Евклид алгоритміне сүйеніп, екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгішін табуға арналған жүйелі бөлінгіштік теориясы құрылды. Онда Евклид жай сандардың шексіз көп болатынын дәлелдеді. Диофанд (б.з.б. 3 ғ.) “Арифметика” деген еңбегінде теңдеулердің бүтін санды шешулерін табумен айналысып, Сандар теориясын дамытуға үлкен үлес қосты. Сандар теориясының кейбір мәселелері Қытайда (2 ғ-дан бастап), Үндістанда (7 ғ-дан бастап), Шығыс араб елдерінде (9 ғ-дан бастап) қарастырылды.Еуропада Сандар теориясының дамуы П.Ферма (1601 — 65) зерттеулерінен басталады. Ферма өзінің атақты теоремасын дәлелдеген және бұл теорема салыстыру теориясында үлкен рөл атқарған кіші теорема болды. Л.Эйлер (1707 — 83) аналит. Сандар теориясының негізін қаласа, К.Гаусс жүйелі салыстыру теориясын жасады. 19 ғ-дың ортасында П.Дирихле (1805 — 59) арифмет. прогрессия туралы теоремасын дәлелдеп, өзінің функционалдық қатарын енгізді. Сандар теориясының дамуына ресейлік ғалымдар П.Чебышев (1821 — 94), А.Марков (1856 — 1922), И.Виноградов (1891 — 1983), т.б. үлес қосқан.Қазақстанда Сандар теориясының дамуын арттыруда Б.Оразбаев шәкірттерімен бірге жемісті еңбек етті. Аналит. әдістерді алгебрада қолдануды қажет ететін есептерді, яғни абсолют абельдік өрістердің асимптотик. таралу заңдылығы (Оразбаев), абсолют абельдік өрістер санының натурал қатарда орналасу заңдылығы (С.Кенжебаев, А.Бөленов), Дирихленің L-қатарларының теор.-функционалдық қасиеттері (Р.Тұрғаналиев, т.б.), жазық облыстардағы бүтін нүктелер санының бағасы (С.Әбләлимов), кейбір мультипликативтік функциялардың бағасы (И.Ильясов) зерттелді. Қазақстанда, негізінен, сандардың аналитик. теориясы дамуда. Қазіргі кезде Сандар теориясының шешілмеген мәселелері көп: жай егіз сандар мәселелері, n2+1 түріндегі жай сандардың шексіздігі, шеңбер ішіндегі және гипербола астындағы бүтін нүктелер, p+е сандарының трансценденттігі, т.б



Натурал сандардың бөлінгіштігі
Кез келген натурал сан 1-ге бөлінетіндіктен, 1 саны кез-келген натурал санның бөлгіші болады.
Берілген натурал санның ең үлкен бөлгіші сол санның өзіне тең.
Кез-келгеннатурал санның шексіз көп еселігі бар.
Берілген натурал санның ең кіші еселігі сол санның өзіне тең
Натурал сан 1-дің бір ғана бөлгіші бар, ол сол санның өзі 1 саны. 1 саны жай сандар тобына да, құрама сандар тобына да жатпайды.
Жай сандар қатарындағы екі тізбектес және айырмасы 2-ге тең сандар егіз сандар деп аталады.
Мысалы 3 пен 5, 5 пен 7,11 мен 13 сандары –егіз сандар қатарына жатады.
Қазіргі кездегі ғылым мен техникалық даму деңгейі әрбір оқушыда сапалы және терең білім мен іскерліктің болуын, олардың шығармашылықпен жұмыс істеуін ойлауға қабілетті болуын талап етеді.
Оқушының шығармашылық ойлауын, ғылыми көзқарасы мен белсенділігін қалыптастыру, өз бетімен білім алу дағдыларын дамыту.
Оқушының өз бетімен жұмысын қалыптастыру оқушының пәнге деген қызығушылығынан және қажеттілігінен туады. өз білімін көтеру жекелеген жұмыс істеу дағдысын дамытып, шығармашылық белсенділігінарттырады.
Оқушы әдеттегіше оқыту барысында алдымен білім алады, ал сонан соң оны қолдану ары қарай шығармашылыққа үйлеседі.
Сандардың бөлгіштігі бөлгіштер мен бөлінділер тақырыбында санның бөлгіштері, жай сан құрама сандар, ең үлкен ортақ бөлгіш, еселі сандар, ең кіші ортақ еселілік тақырыпшаларымен қоса ережелерін, оларды есептеп, жоба білулері қарастырылған.
1.Санның бөлгіштері
Натурал сан қалдықсыз бөлінетін санды осы натурал санның бөлгіші деп атайды.
Мысалдар:
а) 18 санның алты бөлгіші бар: 1,2,3,4,9,18;
б) 25 санының үш бөлгіші бар:1,5,25;
в) 73 санының екі бөлгіші бар: 1 және 73;
1 саны кез келген натурал санның бөлгіші болады.
Егер а және b сандарының екеуі де с санына бөлінсе, онда с санын a және b сандарының ортақ бөлгіші деп атайды.
Мысалдар:
а) 28 саны мен 48 саны 4-ке бөлінеді, ендеше 4 саны-28 және 48 сандарының ортақ бөлгіші болады.
б) 28 саны мен 48 саны 4-ке бөлінеді, демек 4 саны-28 және 48 сандарының ортақ бөлгіші болады.
48 және 60 сандарының ортақ бөлгіштерін табыңдар.
48 санының бөлгіштері: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,28;
60 санының бөлгіштері:1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
Олардың ортақ бөлгіштері: 1,2,3,4,6,12.
Олардың ішіндегі 2-ең үлкен ортақ бөлгіш.
a және b сандары қалдықсыз бөлінетін ең үлкен натурал сан олардың ең үлкен ортақ бөлгіші деп аталады.
2.2,3,4,5,6,9,10 сандарында бөліну белгілері
Ереже: егер натурал санның жазылуы нөлмен аяқталса, ол сан 10-ға қалдықсыз бөлінеді.
Егер натурал санның жазылуы басқа цифрмен аяқталса, ол сан 10-ға қалдықсыз бөлінбейді.
Ереже: егер натурал санның жазылуы 0-ге немесе 5-ке аяқталса, ол сан 5-ке қалдықсыз бөлінеді.
Егер натурал санның жазылуы басқа цифрмен аяқталса, ол сан 5-ке қалдықсыз бөлінбейді.
Мысалдар:
а) 370 және 1485 сандары 5-ке қалдықсыз бөлінеді;
б) 537 және 4008 сандары 5-ке қалдықсыз бөлінбейді.
0,2,4,6,8 цифрларын жұп, ал 1,3,5,7 цифрларын тақ деп атайды.
Жұп цифрлармен аяқталған натурал сандар жұп, ал тақ цифрлармен аяқталған натурал сандар тақ деп аталады.
Ереже: егер натурал жазылуы жұп санмен аяқталса, ол сан 2–ге қалдықсыз бөлінеді. Егер натурал санның жазылуы тақ цифрлармен аяқталса, ол сан 2 –ге қалдықсыз бөлінбейді.
Қысқаша айтқанда, жұп сандар –ге бөлінеді, тақ сандар 2 –ге бөлінбейді.

Мысалдар:
а)8,60,574 сандары 2-ге қалдықсыз бөлінеді;
б) 13,25,1001 сандары 2-ге қалдықсыз бөлінбейді.
Ереже: егер натурал санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінсе, ол сан 3-ке қалдықсыз бөлінеді. Егер натурал санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінбесе, ол сан 3-ке қалдықсыз бөлінбейді.
Ереже: егер санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол сан да 9-ға бөлінеді. Егер сандардың цифрларының қосындысы 9-ға бөлінбес, онда сан да 9-ға бөлінбейді.
Мысалдар:
а) 5787 саны 9-ға бөлінеді, себебі 5+7+8+7=27,
ал 27 саны 9-ға бөлінеді;
б) 359 саны 9-ға бөлінбейді, себебі 3+5+9=17, ал 17 саны 9-ға бөлінбейді.

Ереже: егер берілген санның соңғы екі цифрынан тұратын сан 4-ке бөлінетін болса, онда берілген сан да 4-ке бөлінеді.
Мысалдар:
а) 78536 саны 4-ке бөлінеді, себебі 36 саны 4-ке бөлінеді;
б) 8422 саны 4-ке бөлінбейді, себебі 22 саны 4-ке бөлінбейді.

Ереже: берілген сан бір мезгілді 2-ге де, 3-ке де бөлінсе, ол сан 6-ға бөлінеді. Ал кері жағдайда ол 6-ға бөлінбейді.
Мысалдар:
а) 2862 саны 6-ға бөлінеді,, себебі 2862 саны 2-ге де, 3-ке де бөлінеді;
б) 3754 саны 6-ға бөлінбейді, себебі ол 3-ке бөлінбейді,
3. Жай және құрама сандар
Егер натурал сан тек қана бірге және өзіне бөлінсе, оны жай сан деп атайды.
Егер натурал санның екі саннан артық бөлгіші болса, оны құрама сан деп атаймыз.
Мысалдар:
а) 9 санының үш бөлгіші бар (1,3 және 9), яғни ол құрама сан;
б) 17 санының тек екі бөлгіші бар, яғни бұл жай сан;
в) 1 саны жай сан да және құрама сан да емес, себебі оның бір ғана бөлгіші бар.
Ереже: құрама санды жай көбейткіштерге жіктеу дегеніміз, ол санды оның бөлгіштері болатын жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазу.
Егер көбейкіштердің ретін ескермесек, онда жазудың кез-келген әдісінде жіктеу өзгермейді.
Сандарды жай көбейткіштерге жіктеудің көмегімен, екі не одан да көп сандардың ең үлкен ортақ бөлгішін табуға болады.

4. Ең үлкен ортақ бөлгіш (ЕҮОБ)
Ереже: бірнеше натурал сандардың ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін:
1) оны жай көбейткіштерге жіктеу;
2) жіктеудегі ортақ жай көбейткіштерді теріп жазу;
3) осы көбейткіштердің көбейтіндісі табу керек.


Мысал:
ЕҮОБ (6600; 6300) табыңыз:
6600=2 2 2 3 5 5 11,
6300=2 2 3 3 5 5 7,
ЕҮОБ (6600; 6300) = 2 2 3 5 5 =300

Екі санның ЕҮОБ –ін тапқанда «Евклид алгоритмі» деп аталатын ережені білген дұрыс.
Мысал. ЕҮОБ (270, 186) табыңыз. 270-ті 186-ға қалдықпен бөлейік:
270: 186=1 (қал. 84)
Енді бөлгішті қалдыққа бөлейік және т.с.с.:
186 : 84 = 2 (қал. 18)
84 : 18 = 4 (қал. 12)
18:12 =1 (қал. 6)
12:6=2 (қал. 0)
270 пен 186-ның ЕҮОБ-і –оларға Евклид алгоритмін қолданғандығы ең соңғы нөлден өзгеше қалдық, яғни 6 саны.
ЕҮОБ-і бірге тең болатын натурал сандардың өзара жай сандар деп атайды.

5.Еселі сандар
a натурал санына қалдықсыз бөлінетін санды a санына еселі сан деп атайды.
Масыл: 18 санына еселі сандар мыналар: 18,36,54,72,9,108,126 және т.б

Сонымен, мынан есте сақтау керек:
1)кез келген санның ақырсыз еселі сандары бар;
2) санның ең кішкентай еселі саны өзі болып табылады.
Екі немесе бірнеше санның ортақ еселігі деп, осы сандардың әрқайсысына еселі болып келетін санды атаймыз.
Мысал 8 санына еселі болып келетін сандар: 8,16,24,32,40,48,56; ... .
12 санына еселі болып келетіндер:12,24,36,48,60,72; ... .
8 және 12 сандарының ортақ еселіктері: 24,48,72; .. .

6.Ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ)
Екі немесе одан да көп сандардың ортақ еселікутерінің ең кішісіне көбірек көңіл бөлінеді.
Мысалдар: 8 және 12-нің ЕКОЕ-і 24 болып табылады.
Натурал a және b сандардың ең кіші ортақ еселігі деп, a-ға да b-ға да бөлінетін ең кіші натурал санды айтамыз.
Мынан есте сақтау керек:
1)Егер екі натурал санның бірі екіншісіне бөлінетін болса, онда екі санның үлкені ЕКОЕ болады;
2)Егер екі немесе одан да көп сандар өзара жай сан болатын болса, онда олардың ЕКОЕ-гі –олардың өзара көбейтіндісі болып табылады.
Ереже: натурал сандардың ең кіші ортақ еселігін табу үшін:
1) олардың жай көбейткіштерге жіктеу керек;
2) бір санның жіктелген көбейткіштерін теріп жазып;
3) олардың құрамында қалған сандардың жіктелуінде кездесетін басқа жай көбейткіштерді қосып;.
4) барлық көбейткіштердің көбейтіндісін табу керек
ЕКОЕ мен ЕҮОБ-ті ережелерімен бірге: осы екі санның ЕКОЕ-сі мен ЕҮОБ-нің көбейтіндісі олардың өздерінің көбейтіндісі тең екендігін білген пайдалы. Ал бұл дегеніміз
ЕКОЕ (а;б) ЕҮОБ (а;б)=а;б
а б
немесе ЕКОЕ (а;б) =
ЕҮОБ (а;б)
Мысалдар:
а) ЕКОЕ (20;48) табу керек
ЕҮОБ (20;48) =4 болғандықтан,
20 48
ЕКОЕ (20;48) = =240;
4

б) ЕКОЕ (72;60) табу керек ЕҮОБ (72;60) = 12 болғандықтан;
72 60
ЕКОЕ (20;48) = = 360.
Бөлінгіштік белгілері
Бөлінгіштік белгілері деп, берілген х санының а санына қалдықсыз бөлінетінін бөлу амалын орындамай-ақ білуге болатын ережелерді атаймыз.
2-ге бөлінгіштік белгісі.
Егер сан жұп цифрымен аяқталса, сол сан 2-ге бөлінеді

3-ке бөлінгіштік белгісі.
Цифрларының қосындысы 3-ке тең натурал сандар 3-ке бөлінеді.

4-ке бөлінгіштік белгісі.
Егер санның соңғы екі цифрынан құралған сан 4-ке бөлінсе, онда берілген сан да 4-ке бөлінеді.



5-ке бөлінгіштік белгісі.
Жазылуы 0 цифрымен немесе 5 цифрымен аяқталатын натурал сандар 5-ке бөлінеді.
6-ға бөлінгіштік белгісі.
Егер берілген сан 2-ге және 3-ке бөлінсе, онда берілген сан да 6-ға бөлінеді.

7-ге бөлінгіштік белгісі.
Берілген сан 7- ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай үш – үштен топтаймыз да, тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 7 – ге бөлінсе, онда берілген сан да 7 –ге бөлінеді.

8 –ге бөлінгіштік белгісі.
Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 –ге бөлінсе, берілген сан да 8 –ге бөлінеді.

9- ға бөлінгіштік белгісі.
Цифрларының қосындысы 9-ға тең натурал сандар 9-ға бөлінеді.

10- ға бөлінгіштік белгісі.
Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын натурал сандар 10-ға бөлінеді.

11-ге бөлінгіштік белгісі.
Санның 11-ге бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай екі –екіден топтаймыз да қосындысын табамыз. Сонда берілген сан 11- ге бөлінсе, берілген санда 11-ге бөлінеді.

13- ке бөлінгіштік белгісі.

Берілген сан 13- ке бөлінетінін білу үшін: ол санды оңнан солға қарай үш – үштен топтаймыз да тақ нөмірлі санды минуспен, ал жұп нөмірлі санды плюспен жазып, өрнектің мәнін табамыз. Егер өрнектің нәтижесі 13-ке бөлінсе, онда берілген сан да 13-ке бөлінеді.

19- ға бөлінгіштік белгісі.
Сан 19- ға бөлінуі үшін ол санның ондықтары мен екі еселенген бірліктерінің қосындысы 19- ға бөлінуі керек.

25 – ке бөлінгіштік белгісі.
Сан 25- ке бөліну үшін, ол 00, 25, 50, 75, т.с.с. сандардың бірімен аяқталуы керек.

33-ке , 99-ға бөлінгіштік белгісі.
Сан 33-ке, 99-ға бөліну үшін, оның цифрларын оңнан солға қарай екі орыннан бөлгенде шыққан қосындысы 33-ке, 99-ға бөлінуі кеерк.

101-ге бөлінгіштік белгісі.
Егер берілген санның, оңнан солға қарай есептегенде екі –екіден бөлінген цифрларының тақ орындағылардың қосындысы мен жұп орындағылардың қосындысын бірінен –бірін ажыратқанда айырма не 0-ге, не 101 –ге тең болса ол сан 101 –ге бөлінеді.
Анықтама. а натурал саны в натурал санына бөлінеді, егер а=b*c теңдігі орындалатындай с натурал саны табылса.
Сандар бөлінгіштігінің қасиеттері:
 1) Егер а в және а>0 онда а≥в.
 2) Егер а в және в а, онда а=в.
 3) Егер а в және в с, онда а с.
 4) Егер а с және в с, онда кез келген m және n натурал сандар үшін (ma+nв) c, егер ma> nв болса,
онда (ma-nв) c.
 5) Егер а в және k≠0, онда ak вk.
 6) Егер ak вk және k≠0, онда а в.